Matematiğin Hayatımızdaki Yeri

MATEMATİK VE DOĞA

 Hayatımızda matematiğin yerini, matematiğin ne işe yaradığını, nerelerde kullanabileceğimizi düşünmeden önce matematiğin tanımını seçip; tanımlayabildiğimiz matematiğe uygun bir düşünce sistemi oluşturmamız gerekir. Matematiğin tanımını seçmek denilince akıllarda bir ikilem oluşması olasıdır. Çünkü matematiğin tanımını yapmak olanaksız değildir ama hala herkesçe kabul gören bir tanımı, beklide bir tanım cümlesine sığdırılamayışından ötürü yapılamamıştır. Bu sebepten ötürü her kitapta farklı bir tanımla karşılaşırız. Bu tanımlardan en uygununu seçebilir ya da kendi tanımımızı kendimiz oluşturabiliriz.

 

Matematiği tanımlamak bir süreçtir bu süreç içerisinde en iyi tanımı orta koyabilmek için matematiğin doğada olan bir şey mi, yoksa insanların sonradan ürettikleri bir şey mi olduğuna karar vermemiz gerekir. Kısacası matematik ile doğa arasında ki iş birliğini aydınlatmamız gerekir. Bir düşünceye göre matematik doğada yoktur ve tamamen insanların uydurması olan matematik kavramları doğaya adapte edilmeye çalışılmaktadır. Bu düşüncede birçok matematik kavramının doğada olmadığı gösterilerek matematiğin doğadan geldiği düşüncesi çürütülmeye çalışılır. Özellikle doğada sonsuz kavramının olmadığı şöyle açıklanır. Doğada “sonsuz” yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki molekül, atom, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır. (Nesin, 1995:146) Bunun gibi noktanın, doğru parçasının, bir sayısının, sıfır sayısının, pi sayısının vb. matematik kavramlarının soyut olmasından yola çıkarak olmadığı mantıklı bir şekilde açıklanmaya çalışılır.

 

Matematiğin doğadan gelmediğini savunan düşünceye karşı savunulan; matematik doğada zaten vardır sadece insanlar bunu keşfetmektedirler düşüncesidir. Bu düşünce o kadar ağır basamaktadır ki çok iyi ve kaliteli savlar öne çıkmaktadır. Yazının geri kalanında matematiğin doğadan geldiğini ispatlayan bu savlardan bahsedeceğiz. İlk önce matematiğin doğadan gelmediğine dair düşüncede ortaya atılan savlarla aynı düşünce yapısında şu örnekle işe başlayalım. İnsan olmasaydı yerçekimi yasası bulunamazdı, ama bundan yerçekiminin olmadığı sonucu çıkmaz, hatta yerçekimi yasasının da insansız olamayacağı çıkmaz. (Nesin,1995:148). Görüldüğü gibi bu düşüncede matematiğin tıpkı bir yer çekimi gibi doğada olduğu, insanların bunu bulduğu anlayışı örneklendirilmiştir. Hatta insanlarda olmasaydı matematik yine olmaya devam edecekti.

 

İnsan yeryüzüne yaşamaya geldiği andan itibaren birçok sorunla karşılaşmıştır. Fizyolojik gereksinimlerini gideren insanoğlu güvenliğini sağlama girişiminde bulunmuştur. Daha sona sosyalleşmiş ve toplu yaşama gereksinimini gidermiştir. Bu süreçler içerisinde matematiği ne kadar kullansa da gerekliliğini ve ayrıca varlığını tam olarak belirleyememiştir. Sosyal yaşam yeni bir takım kavram ve gereksinimler (ticaret, tarım, paylaşma, yaşam yeri inşaatı, vb.) doğurmuştur. Bu gereksinimlerin yanı sıra gökyüzündeki cisimlerin hareketi, doğa olayları gibi doğaüstü görünen birçok olayın bilimsel açıklaması matematikle yapılabilmiştir. Evrenin mükemmel düzeninin içinde bir matematik olduğu anlaşılmıştır. Tarih öncesi zamanlardan beri bilinen bu gerçek çağımıza daha gelişmiş bir teknoloji ile yansımıştır.

 

Matematiğin doğada varlığını göstermede direkt doğanın yarattığı doğal olgulardan yararlanılabilir. İlk olarak doğadan geliştirilerek matematiğe katılan Fraktal kavramından bahsedebiliriz. Beyin enerjimizi matematik bilimine yöneltmemizin nedeni evreni izah etme kaygısı değil. Ama bu bilgilerle daha sonra doğaya baktığımızda bu sonuçların onun içinde ta başından beri var olduğunu görüyoruz. Etrafımızda var ola gelen ama bizim yakın zamana kadar görmesini bilemediğimiz geometrik gerçeklerden biri de fraktalar; öyle bir cisim olsun ki hangi noktasını alırsak alalım büyütüp baktığımızda yine başlangıçtaki şekille karşılaşalım ve bu işleme ne kadar devam edersek edelim aynı olay tekrarlansın. İşte Fraktal, yani kendine benzerlik kavramının tanımı bu. Aslında doğa aynı doğa. Değişen tek şey matematiğin algıladığı değiştirme gücümüz. (Sertöz, 1996:41–42) Görüldüğü gibi Sayın Sertöz Fraktal kavramını doğaya atıfta bulunarak tanımlıyor.

 

Matematiğin doğadan bir başka örneği ise arıların bal yapma çalışmaları sonucu tamamen içgüdüsel yollarla oluşturdukları peteklerin incelenmesiyle ortaya çıkıyor. Peteklere bakıldığında her boşluğun bir düzgün altıgen olduğu görülüyor. Her noktanın oluşumunda üç ayrıt yüz yirmi derece açıyla birleşiyor. Bu sebeple çok sağlam bir yapı olduğu ortaya çıkıyor. Eğer bu petek şeklindeki yapı karton, pvc, alüminyum gibi materyallerden yapılırsa hafif, dirençli ve dayanıklı malzemeler üretilir. Bu ana fikirden yola çıkarak Airbus A380 uçağının gövdesinde, hızlı trenlerin vagonlarında ve uyduların dış cephelerinde kullanılmaktadır. Görüldüğü gibi doğadan gelen bilgi işlenerek insanoğlunun kullanımına sunulmuştur.

 

Fibonacci sayıları da doğada olan matematiği açıklamaktadır. Fibonacci dizisi bir ve bir ile başlayıp kendinden önceki iki sayının toplamıyla ilerleyen sayı dizisidir. Burada doğadan materyaller seçerek onların üzerindeki elemanların oluşturduğu sarmallar bir saat yönünde bir de ters yönde sayımıyla ortaya çıkan iki sayınında Fibonacci dizisinin ardışık sayıları olduğu ortaya çıkar. Örneğin ayçiçeği üzerindeki tanelerin oluşturduğu spiraller bir yönden sayısı 55 ise ters yönden 34 veya 89 dur. Bu çam kozalağında 5 ve 8 olarak ortaya çıkar. Ya da muzun üzerindeki boğumları saydığımızda dışarıdan 5 boğum varsa, kabuğun içinden 8 boğum olduğu görülür. Bu daha da genişletilebilir örneğin ananas, tütün bitkisi vb. görüldüğü gibi doğada var olan matematik açığa çıkmaktadır.

 

Eskiçağ sanatçılarının bulduğu bir geçekten bahsedelim. Sanatçılar gülünç heykeller yapmamak için olsa gerek ideal insanın ölçülerinin belli bir orana dayandığını bulmuşlardır. Yani boy uzunluğunun göbekten ayakuçlarına olan uzunluğa oranı, göbekten ayakuçlarına olan uzunluğunun göbekten başucuna olan uzunluğa olan oranına eşittir. Bu orana altın oran denmektedir ve 1.618… dir. Bu oran aynı şekilde yüzde de yanak ve kulak uçları arasında ve göz çukurların arasında vardır. Aralarında Mona Lisa tablosunun da bulunduğu pek çok eserin tuvalin içine bu oran gözetilerek yerleştirildiği iddia edilir. Sessiz sinemanın ünlü yönetmeni Eisenstein, Potemkin Zırhlısı filmindeki dramatik öğeleri altın orana göre yerleştirdiğini söyler. (Sertöz, 1996:65) 

 
Matematiğin hiç yoktan var edilmediği görülmektedir. Zaten hiçbir şeyin yoktan var edilmediği bilinen bir gerçektir. Herhangi bir düşünce ne kadar soyut olursa olsun somut bir esinlenmeden oluşmuştur. Bu açıdan bakıldığında, yukarıdaki örnekler ve yukarıda yer almayan daha spesifik örnekler göz önüne alındığında rahatça matematiğin kaynağının doğa olduğu söylenebilir. Matematiğin soyut olması onunun doğal olmadığı anlamına gelmez. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun her soyut düşüncenin kaynağı doğadır, evrendir, bizim dışımızdaki dünyadır. Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin var olabileceğini düşünmek olur. (Nesin, 1995:151)

 

Soyut matematik birebir uygulanma amacıyla ortaya çıkmamıştır. Eski matematikçiler matematik üzerine cilt cilt kitaplar yazıp matematik üzerine düşünce sistemleri geliştirirken bunların teknolojik gelişmelerin temelini oluşturacağını iddia etmemişlerdi. Fakat günümüz gelişen ve küreselleşen teknolojisinde matematiğin uygulanmadığı hiçbir teknik alan kalmamıştır. Doğanın bir parçası olan insanoğluna yaşamını kolaylaştırıcı birçok ürün matematik sayesinde verilmektedir. 

 

Matematiğin doğada olduğunu savunmaya devam ederken birçok örnekten ve kavramdan yararlandık. Matematikteki her kavramı doğada arama girişimi de gereksizdir. Çünkü bazı kavramlar birçok kavramı kendi içerisinde barındırabilir. Örnek verirsek asal sayı kavramı sayılar kavramı içinde yer alır. Asal sayıyı tanımlamazsanız olmaz çünkü farklı özellikleri vardır. Bir de bazı kavramlar birleşerek yeni kavramları oluşturabilirler. Örnek verirsek doğru ve çember kavramlarından eğri kavramı, eğri kavramından süreklilik, limit ve türev kavramları doğar. Bu örneklerden sonra doğada tüm matematik kavramların birebir olması gerektiğini düşünmemize gerek kalmaz.

 

Matematik, matematikçilerden ve insanlardan bağımsız olarak vardır. Pisagor dik üçgenleri yaratmamıştır, keşfetmiştir. Galois, gupları yaratmamıştır, keşfetmiştir. Hilbert, Hilbert uzaylarını yaratmamıştır, keşfetmiştir. (Nesin, 1995:158) Görüldüğü gibi matematik yaratma sürecinden çok doğanın fısıldadığı gerçekleri keşfetme sürecidir. Matematiğin tanımını yaparken doğanın etkisini dışarıda bırakan tanımlar her zaman eksik tanımlar olmaya mahkûmdur. Ayrıca matematiğin bir doğa yorumu olduğunu da söyleyebiliriz. Doğanın fısıltıları yorumlanarak birçok kavram oluşturulmaktadır. Son sözü matematiğin kaynağının bir matematikçi olmadığını söyleyen G. H. Hardy’e bırakıyorum: Benim için ve sanırım çoğu matematikçiler için “matematiksel gerçek” diye tanımlayabileceğim başka bir gerçek vardır. Bu matematiksel gerçeğin niteliği hakkında gerek matematikçiler, gerek felsefeciler arasında herhangi bir uzlaşma yoktur. Bazılarına göre “zihinsel”dir ve onu bir bakıma biz yaratırız; diğerleri ise onun bizim dışımızda ve bizden bağımsız olduğu kanısındadır. Matematiksel gerçeğin ne olduğunu, inandırıcı bir şekilde açıklayabilecek bir kimse metafiziğinin en zor problemlerinin çoğunu çözmüş olurdu.(…) Benim inancıma göre matematiksel gerçeklik bizim dışımızdadır; bizim işlevimiz onu bulup çıkarmak ya da gözlemektir; ispatladığımızı veya tumturaklı sözlerle yarattığımızı söylediğimiz teoremler; gözlemlerimizden çıkardığımız sonuçlardan ibarettir. Bu görüş Platon’dan bu yana birçok ünlü filozof tarafından da benimsenmiştir.(Hardy, 1994:95)

 

  Kaynakça

·        Hardy, G. H., Bir Matematikçinin Savunması. Bölüm 22, Çeviren Nermin Arık, Tübitak Popüler Bilim Kitapları Dizisi 3, 1994.

·        Nesin, A., Matematik ve Doğa. Birinci basım. Düşün Yayınları, 1995

·        Nesin, A., Matematik ve Sonsuz. Birinci basım. Nesin Yayıncılık Ltd., 2007

·        Nesin, A. Matematik ve Oyun. Birinci basım. Nesin Yayıncılık Ltd., 2007

·        Sertöz, S., Matematiğin Aydınlık Dünyası.Yirmi üçüncü basım. Tübitak Popüler Bilim Kitapları Dizisi 36, 1996

·        Altun, M., Matematik Öğretimi.Alfa Yayıları, Bursa, 2001.

·        Pesen, C., Yapılandırmacı Öğrenme Yaklaşımına Göre Matematik Öğretimi. Dördüncü basım. Pegem Akademi Yayıncılık, 2000.

 

 

Yorum (yok) Yorum yaz! Kalıcı Bağlantı GAUSS 13/1/2009 -Kategori: Ni_in Matematik_ , Ünlüler

 

CARL FRİEDRİCH GAUSS

(1777- 1855)

           
















Tarihin en büyük üç matematikçisi, Archimedes, Newton ve Gauss’ tur.

 

Matematikçilerin prensi ve kralı olarak anılan Gauss aslında çok fakir bir ailenin oğluydu. Brunswick’te yoksul bir evde 30 Nisan 1777 günü doğdu.

 

Gauss’un babası bahçıvanlık, kanal bekçiliği ve tuğla duvar örücülüğü yaparak evini geçindiriyordu. Oğullarına karşı çok sert ve bazen kabalığa varacak kadar eli ağırdı. Oğlunun da kendisi gibi bahçıvan veya duvarcı olmasını istiyordu bu yüzden oğlunun öğrenim görmesini engellemek için elinden gelen her şeyi yaptı. Oysa babası 1806 da öldüğünde Küçük Gauss ölümsüz ilk eserini bulmuştu. Oğlunda çok küçük yaşta bu zekâyı gören anne babaya karşı cephe aldı. Oğlundan çok şeyler umuyor ve bekliyordu. Erkek kardeşinin yardımıyla küçük Gauss’u okula göndermeyi başardı. Oğlunun doğduğu günden öldüğü güne kadar onunla gurur duymuş ve övünmüştür.

 

“Konuşmayı sökmeden toplama yapmayı becerebiliyordum.”

Gauss üç yaşına basmadan önce matematik yapmaya başlamıştı. Bir Cumartesi günü, babası yanında çalışan işçilerin haftalıklarını hesaplıyordu. Gauss’un kendini izlediğinden haberi yoktu. “Baba hesabın yanlış buraya yazılması gerekir…” diye bir mırıltı duyduktan sonra şaşırır ve hesabını kontrol eder. Gauss’un söylediğinin doğru olduğunu görür. Bu olaydan önce zaten çocuk onları zorlaya zorlaya alfabeyi öğrenmiş, sonrada kendi kendine okumaya başlamıştı. Hiç kimsenin aritmetik dersi vermemesine rağmen o çevreden duyduklarıyla parmaklarını kullanarak saymayı biliyordu. Tüm yaşamı boyunca bu keskin zihni hesap yeteneği devam etti.

 

Yedi yaşına gelince çok kötü bir öğretmen tarafından yönetilen bir okula düştü. Öğretmen ortaçağ kafasında ve korku dolu bir öğrenim yaptığı için ilk iki yıl hiçbir şey öğrenemez. On yaşına gelince aritmetik sınıfına girdi. O sınıfa kadar hiçbir çocuk aritmetik seri nedir ne görmüş ne de duymuştur. Kahraman ve gaddar öğretmen Büttner,

 

            81.297+81.495+81.693+...+100.899

           

            Bu aritmetik serinin toplamını bulmalarını istiyor. Gauss öğretmen soruyu tahtaya yazdıktan hemen sonra ben buldum deyip tahtasını öğretmenine verir. Ve sınıfta ki tek doğru cevap onundur. Gauss’a daha önce aritmetik seri öğretilmediğinden ve bununla ilgili bir şey gösterilmediğinden on yaşındaki bir çocuk için bunu kendi kendine bulması olağan üstü bir olaydır. Bu olay Gauss’a ölmezliğe girişin yolunu açmıştır.


 

Binom teoreminin genel çözümünü bulması ilk büyük çalışmasıdır. Bu konu üzerine Gauss’tan önce ciddi olarak çalışan olmamıştır. Gauss’un verdiği ispat yöntemi, matematik analiz yolunu açtı ve analizden sonsuza geçişin doğru olarak yapılmasına götürdü. Zamanın büyük analizcileri olan Newton, Leibniz, Euler, Lagrance ve Laplace’ın sonsuza geçiş diye bilinen bir ispat kavramı hakkında hiçbir bilgileri yoktu. Daha sonra Abel, Cauchy, Weierstrass Gauss’u izleyerek Newton, Leibniz, Euler matematiğinden değişik bir matematik ortaya koydular. Gauss matematikte yenilikçi biriydi. Binom teoreminde gördüğü noksanlığa benzer bir noksanlığı Öklid geometrisinde de gördüğünde 12 yaşındaydı daha sonra sayılar kuramını incelemeye başladı. Gauss, kendinden önce gelenlerin eserlerini okuyor, gördüğü boşlukları dolduruyor ve kendisi yeni bir çığır açıyordu.

 

Gauss kendisini ölmezler arasına koyacak aritmetik çalışmalarını lise yıllarında yapmıştır. Matematiğin mücevheri denen teoremi tümevarımla ispatlamıştır. En küçük kareler yöntemini bu günkü jeodeziye sokmuştu. Haritacılık, enlem ve boylam üzerine çalışmaları ilk kez Gauss yapmıştır. Normal dağılıma ait Gauss yasası ve Çan Eğrisi artık bilinen buluşlarıdır. p ve q asal sayı olmak üzere x kare denktir q modp ve x kare denktir p modq denklem çifti aynı zamanda çözülebilir ve aynı zamanda çözülemez. Euler ve Lagrange bu problemi çözememişlerdi. Bu çözümü başka yerlerde kullanabilmek için altı farklı ispat yöntemi geliştirdi. Matematiğin 2000 yıldır çözülemeyen problemini çözdü. 30 Mart 1796 günü not defterinin ilk sayfasına şöyle yazdı:

      “Eşkenar bir onyedigenin cetvel ve pergelle nasıl çizileceğini buldum.”

 

Bu not defteri Gauss öldükten 43 yıl sonra torunu tarafından Göttingen Krallık Kurumuna incelenmesi için verilir. Bu on dokuz sayfalık defterin içinde 146 tane yeni basılmamış çok önemli teorem ve ispatlar bulunur.

 

Gauss’un söylediğine göre yirmi yaşına kadar aklına o kadar çok fikir hücum ediyordu ki o bunların tümünü inceleyemiyor, sadece bu fikirlerin küçük bir kısmını not edebiliyordu. Defterine aldığı kısa notlar bazen kendisini olduğu gibi başkalarını da uzun süre uğraştırmıştır. Ayrıca yazdığı eserlerde daha öncekilere ilişkin bilgiler olmadığından okunması ve anlaşılması oldukça zordu. Kapalı yazması, bildiklerinin tümünü eserine geçirmemesi bu işi daha da zorlaştırıyordu. Eğer Gauss bildiklerinin tümünü yazıya geçirseydi matematik tarihi en az yarım yüzyıl daha ileriye giderdi.

 

Gauss’un doktora tezi bugün cebirin temel teoremi ismiyle bilinen teoremdir. Yani n dereceli bir polinomun n tane kökü vardır. Cebirsel bir denklemin kökünün a+ib şeklinde göstererek karmaşık sayıları bulmuştur. Gauss ilk ispatının kabul edilmemesi üzerine bu teoremin 4 ayrı ispatını yapmıştır.

 

İlk kitabı Disquisitiones (1801)

Kitap yedi bölümdü. Sekizinci bölümü basım masraflarından kısmak amacıyla kaldırılmıştı. Bu kitapta denklik modülleri, kuadratik kalanlar, 2. ve 3. dereceden kuadratik formlar ve xn=1 denkleminin çözümü yer almaktadır.

 

Yeni bir gezegen keşfedilmişti yörüngesinin hesabı çok güçtü. Newton ve Laplace bunun hesaplanmasının neredeyse imkânsız olduğunu söylüyordu. Hatta bu günkü bilgisayar teknolojisinde bile çok uzun bir sürede hesaplanabiliyor. Ceres isimli bu gezegenin yerini bulabilmek için 3 gün 3 gece hiç durmadan uğraşan Euler sonunda bir gözünü kaybetmişti. Bu gezegenin yeri Gauss tarafından kesin hesaplarla belirlenmiş ve onun işaret ettiği yerde bulunmuştur. Gauss bu keşfi yaptığında 24 yaşındaydı. Bu keşiften sonra şan ve şöhret yağmaya başladı. Ceres’in izleyeceği yörüngeyi nasıl bu kadar hatasız hesaplayabildiği sorulunca, "logaritma kullandım" cevabını vermiş, logaritma cetvelini nasıl bu kadar hızlı kullanabildiği sorulunca da "cetvele ne gerek var, hepsini kafamda hesaplıyorum!" demiştir.

 

Gauss yirmi dokuz yaşında çok önemli bir matematikçiydi ama kendisini seven dükün ona bağladığı maaştan başka bir geliri yoktu. Ve dük artık ölmüştü böylece hiçbir geliri kalmamıştı. Gauss’u geçindirecek iş Saint Petersburg’ ta Euler den boşalan kürsüydü ve oraya davet edilmişti. Fakat Gauss Almanya’da kalmak istedi ve Göttingen Gözlemevi Müdürlüğünü kabul etti.

 

İcatları…

         Yansımadan yararlanarak uzak yerleri işaretleyebilmek için Helyotropu bulmuştur.

         Gökbilimi aletlerinin çoğunu geliştirmiş

         İki telli manyetometreyi icat etmiştir.

         Elektromanyetik telgrafı bulmuştur.

 

Avrupa’nın tüm edebiyatlarını, eski çağın klasiklerini, dünya siyasetini, yabancı dilleri, botanik ve mineroloji ve yeni bilimleri biliyordu. Net olarak kaç dil bildiği bilinmiyor fakat 60 yaşında en son Rusça öğrendiği biliniyor.

 

Cauchy karmaşık değişkenli fonksiyonlarla ilişkin ünlü buluşlarını yayınladığında hiç ilgilenmedi çünkü onları çok uzun yıllar önce o zaten çözmüştü ama bunların hepsi o ünlü not defterinde saklıydı. Hamilton’un 15 yıl uğraşıp bulduğu kuaterniyonlar hakkındaki çalışmalarını gördüğünde hiçbir şey söylemeyip susmuştu. Çünkü bu çalışmaların hepsi 30 yıldan beri not defterinde yazılı bulunmaktaydı.

Yorum Yaz